1951 yılında Çorsan’da doğdu. Ortaokulu Varto’da, öğretmen okulunu Tunceli’de okudu. 1976’da Ankara Tıp Fakültesi’nden mezun oldu. Cizre’de çalıştı. Askerlik sonrası Ankara Dış Kapı SSK Hastanesi’nde Kulak Burun Boğaz ihtisasını tamamladı. Mecburi hizmetini Tunceli’de yaptı. 1987 yılında Mersin’de serbest uzman hekim olarak çalışmaya başladı. Asistanlık yıllarından itibaren birçok sempozyum ve KBB toplantılarına katıldı. İhtisasının başından itibaren estetik ve özellikle tüm yüz estetik operasyonlarına özel ilgi duyarak yapmaya başladı. 2007 yılında Özel Mersin Sistem Cerrahi Tıp Merkezi’nde Kulak Burun Boğaz Uzmanı olarak göreve başladı. Op. Dr. Cüneyt Bozkut şu anda Mersin’de bulunan muayanehanesinde hastalarını kabul etmektedir.